Approche Mathématique De La Gamme Majeure

Il est parfois amusant de considérer la musique et sa théorie d’un point de vue mathématique. L’idée ici est de regarder comment générer des gammes de façon itérative à partir d’un intervalle unique.

On se basera ici sur la gamme tempérée, supposant que tous les demis tons ont une valeur égale. En fréquence logarithmique ceci implique que la différence entre 2 notes espacées d’un demi ton est exprimée de la manière suivante :
soit:

On se pose alors la question suivante: à partir de ces n notes espacées d’un demi ton, quels sont les intervalles a qui permettent de générer toutes les notes (i.e. de parcourir l’ensemble des valeurs 0 à n-1)?

Soit la formule de génération itérative:

On démontre assez facilement qu’une condition nécessaire et suffisante pour parcourir l’ensemble des valeurs de 0 à n-1 est que n et a soient premiers entre eux.

Dans le cas qui nous intéresse, n étant égal a 12, on obtient donc les uniques possibilités suivantes :

• a=1 ou a=11: génère la gamme chromatique (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), soit do, do#, ré, ré#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si.
• a=5 (quarte) ou a=7 (quinte) : génère la gamme majeure, si l’on arrête la génération dès que l’on obtient plus de deux nombres consécutifs, ce qui nous limite donc aux 8 premières notes générées (0,2,4,5,7,9,11), soit en prenant pour note de départ le fa: do, ré, mi, fa, sol, la, si.

Dans le deuxième cas, la suite de notes générées par succession de quintes est la suivante (ordre inverse des quartes): Fa do sol ré la mi si fa# do# sol# ré# la#

Remarque: on s’aperçoit que la gamme générée par fa n’est autre que la gamme de do majeur, soit Fa Lydien. On pourrait donc considérer que le mode Lydien est plus « naturel » que le mode ionien (Do majeur=mode ionien de do) si l’on considère la génération d’une gamme par intervalles.

Par conséquent, en divisant l’octave en 12 demi tons égaux, la seule gamme non triviale (par opposition à la gamme chromatique) qu’il est possible de générer par succession d’intervalles est la gamme majeure. Amusant, non?